Математическое?

[cbeta]

Андрюхин приятель задал задачку: если случайно бросать три камешка на плоскость, какова вероятность, что в получившемся треугольнике не будет тупого угла?


Сразу понятно, что задача не очень корректная, она зависит от вероятности падения камешков. Если камешки кидает боженька на бесконечную плоскость куда попало равномерно, то вероятность получить остроугольный треугольник равна нулю: берем какую-нибудь одну сторону, ну пусть она, скажем, горизонтальна, и смотрим: третья вершина должна попасть в вертикальную полосу шириной с эту сторону треугольника с вырезанным кругом, для которого эта сторона - диаметр. Вся остальная плоскость дает тупоугольные треугольники.

Как переформулировать задачку, чтобы она имела смысл? Парни начатки теории вероятности проходили, но явно не имели дела с бесконечностями, хотелось бы с ними это обсудить.

Comments

[vladimir000]

Почему бы не так?

Человек - центр круга, камни бросает на случайный угол и случайное расстояние (или, для простоты, одно и то же). Т.е., имеем три точки на окружности.

[flaass.livejournal.com]

Ага, про три точки на окружности получается вполне хорошая задача.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

1/4, нет? :)

[vladimir000]

У меня тоже получилось:) Можно даже к задаче плошади треугольника свести, вместо взятия интеграла:)))

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

А пацан сказал, что его задачка не интересует, "I prefer to stay blissfully ignorant". Вот оно, племя молодое, нелюбопытное.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

Случайное расстояние - это опять-таки надо плотностью вероятности заморачиваться. Про круг хорошо, ага.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

И интегралы сразу всплывают, даже в равномерном случае, даже если один из камушков всегда в центре. Пожалуй, кроме окружности, хороших формулировок нет.

[flaass.livejournal.com]

Есть еще одна, но эквивалентная: выбрать тройку величин углов - равномерно из всех троек с А+В+С=180. Кстати, это заодно даст доказательство, что 1/4, вовсе без интегралов.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

Извини, Димка, не поняла?

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

Для окружности оно и так без интегралов решается, на пальцах почти. Я уже про другие варианты думаю, с кругом, например. Но как только появляются площади, так сразу и интегралы.

[flaass.livejournal.com]

А интересно :)
Для каких ограниченных областей ответ тоже будет 1/4?
Для круга надо проверить...

[flaass.livejournal.com]

Вот смотри: пусть А,В,С - углы. В трехмерном пространстве точки (А,В,С), что нам годятся, образуют треугольник на плоскости А+В+С=180. И остроугольные в нем - это треугольник между средними линиями, как раз четверть.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

Да нет, я к тому моменту уже о другом думала, поэтому просто не поняла, что ты еще о дуге, а не уже о плоскости.

[http://users.livejournal.com/_cbeta_/]

Тоже красиво, через кубик. А я так решала. Рассмотрим точку на окружности, и диаметр, через нее проходящий. Понятно, что две оставшиеся точки не могут лежать обе по одну и ту же сторону диаметра - первая половина случаев отпала. Теперь рассмотрим две точки. Из тех же соображений третья может лежать только на дуге, стянутой противоположными концами их диаметров. Ну и через углы, к-рыми задаются 2-я и 3-я точки, получаем 1/4.

А Женька предложил обобщить: поскольку в задачке получается 1/4 вне зависимости от радиуса, положим его бесконечно большом и рассмотрим 3 точки на прямой :))
Я вот еще не совсем поняла, где нас здесь дурят :)

[flaass.livejournal.com]

На прямой наугад выбирать - та же проблема, что и на плоскости. дурют, дурют :)

[vladimir000]

Но это же другое распределение вероятности, чем при бросании из центра круга. Как минимум, доказать что одно и то же - неочевидно как.

[flaass.livejournal.com]

а через длины дуг. Угол равен половине дуги, на которую он опирается.

[vladimir000]

Логично:)